高中数学实验在课堂数学中的尝试与思考
徐州五中 孔玉海
实验是科学研究的基本方法之一，在数学课堂中进行数学实验的开展与应用也是数学教学的一项重要组成部分。数学实验教学是数学探索与发现过程的重要途径，学生们通过亲身的参与、主动的探索、积极的实践，不断思索、追求创新，为数学问题的解决打开了全新思路。数学实验在课堂教学中的应用，正是数学素质教育在课堂中的体现；数学实验着力对于学生数学能力的培养才真正能够起到锻造数学思维方式，提高数学实践意识的最终目的。
一、什么是数学实验
日常生活中，我们常常通过检验、试验、试探等方式证实某件事情，在众多理科学科的学习过程中亦是如此。数学学科具有高度的逻辑性、理论性，但有时也需要通过某些形象化、可操作化的数学方法，对于某些结论或设想辅以演示例证，为进一步的演绎证明提供参考或启示。例如，讲述数学归纳法时，我们可以利用多米诺骨牌的演示让学生充分理解数学归纳法的递归性；通过掷骰子实验和学生一起再现概率原始定义的诞生；用填沙子实验探索等积几何体的关系，感受祖暅原理的本质，由此猜想并尝试证明球体的体积公式……在数学课堂的常规教学中有许多这样“数学实验”的机会，教师不仅可以组织学生自己制作演示模型，也可以利用“几何画板”等教学软件进行实验。
由于高中数学理论性更强，内容更加抽象，相对于理化生课程中的学科实验，数学实验更多是属于教育范畴的实验。数学实验主要针对数学概念形成过程中思维面的模拟演示，实验现象甚至结果通常并不能作为严格的数学结论，其正确性依然还须须再次进行严格的逻辑推证。高中数学实验的目的主要是辅助数学教学，使学生在实验过程中更深刻理解数学概念的产生，体会数学方法的应用，有意识地培养自主探究学习的能力，提高数学素养，感受数学文化，发扬数学德育，带领学生经历迷人的数学发现之旅。
【实验1】 验证椭圆定义
实验工具：几何画板
实验过程：1、使用几何画板软件绘制椭圆（也可以由学生完成）
2、设置椭圆上动点P，计算PF¬1+PF2的数值。
当点P在椭圆轨道上运动时，观察数值是否变化
3、改变椭圆长轴或短轴，继续步骤2验证椭圆定义
从以上的简单实验中，我们可以感受到所谓的数学实验其前身就是最早的教具演示。只是现在的数学实验更强调学生的操作性、参与性，并且可以对实验的过程进行修改、调整，最终做出分析、猜想的一种更为开放的探索性的数学教学活动。同时，多种实验手段的引入，也使得实验的内容更丰富，应用的范围更普遍，充分激发调动了学生的学习兴趣和积极性，使数学只是更容易理解接受。
二、数学实验的类型
根据实验教学的载体，数学实验可以分为以下三种形式：
1、操作性数学实验。操作性数学实验是某种特定问题情境中，动手制作、操作一些工具和材料，学生在操作中自主探索数学规律、验证数学结论的教学活动。这种实验适合对于几何问题的研究，可以方便观察图形的性质，发现相关关系，并进一步验证相关的命题与结论。
2、思维性数学实验。思维性数学实验是指对数学对象的不同形态的进行动态的展示分析，引导学生运用多种思维方式探究数学结论的教学活动。新知教学中的类比、联想、归纳，习题训练中的结论引申、条件拓展等都是有着实践意义的数学思维实验。
3、计算机模拟实验。计算机模拟实验是借助于计算机强大的运算及图形演示能力，模拟数学问题，同时更直观、快捷、多样地对数学变量进行控制调整，探究数学问题的教学活动。现代化教育技术在学科课堂教学中的推广，为教学注入了新的活力，多种媒体的模拟演示使得视、听、思融为一体，直观的模型使得抽象的数学情境被更加生动形象地模拟表现出来，集中了学生的注意力，激发了学生的学习兴趣，是现代化教学方式中重要的数学实验形式。
【实验2】 折痕生成圆锥曲线轨迹
图① 图②
实验工具：白纸、几何画板
实验过程：1、准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点F，将纸片折起，使圆周
过点F（如图①），然后将纸片展开，就得到一条折痕 （为了看清楚，
可把直线 画出来），这样继续折下去，得到若干折痕。观察这些折痕围成的
轮廓，它是什么曲线？
2、在纸上画一个圆O，在圆外任取一定点F，将纸片折起，使圆周通过F（如图
②），然后展开纸片，得到一条折痕 （为了看清楚，可把直线 画出来），
这样继续下去，得到若干折痕。观察这些折痕围成的轮廓是什么曲线？
3、使用几何画板模拟纸片折叠过程，作F点关于 的对称点F’，连接OF’，OF’
（或F’O的延长线）交直线 与点P，标记P点轨迹，当直线 变化时，观察
P点轨迹是什么曲线
该实验中，先使用操作性数学实验探索发现直观现象，猜想可能的轮廓曲线；再对比两次不同折叠问题，进行思维性数学实验，为最终的严格推证方法提供信息方向；最后借助于计算机教学软件的动态作图演示工具，更准确绘制出轮廓曲线，完成实验过程。需要指出的是，数学实验只能为我们提供一种可能结果的演示甚至是一个猜想，要想获得明确的结论还需进一步进行严格的逻辑推证。
三、数学实验在课堂中的应用
受到教学设备和教育理念的限制，在过去的高中数学课堂教学中，数学实验一直被漠视。即使现今的教学，传统的黑板粉笔教学方式，仍然占据着主流。教育信息技术的发展为数学实验的重新定义和全新开启提供了条件和时机，为数学实验提供了便捷的平台。计算机网络技术与课程软件的结合，以及众多功能愈加强大的数学专属APP的推出，使得课堂教学中数学实验更加成为数学教学体系中精彩有益的组成部分。与此同时，新课程改革的潮流也将教育理念引入一个新的高度，数学实验在课堂教学以及课外拓展延伸中所起到的积极作用受到了越来越多的关注。
曾经的几何画板软件为数学实验提供了全新的平台，更强大功能的数据图像处理分析软件Matlab也开始走入课堂，使用TI图形计算器、ipad上课已不再是什么新鲜事，随着这些教学辅助软硬件设备的不断更新，数学实验也逐渐成为一种教学的常态，传统的教学模式也被不知不觉间被改变。
1、数学实验能够促进学生对数学知识的理解，提高教学的有效性。数学实验超越了传统数学语言的表达方式，要求学生建立相关模型，体验数学的发现过程，寻求数学现象的本质，构建完整数学体系。
2、数学实验能够培养学生的非逻辑思维能力。主动在数学学习过程中进行数学思维活动和数学操作实践，不失时机地对学生进行数学德育教育，培养良好的思维意识，运用归纳、类比等多种推理方式，体验数学的创造过程，增强数学的应用意识。
3、数学实验能够提高学生的数学学习能力。促进学习方式的转变。数学实验改变了传统教学方式，不再单纯是老师讲学生听，而更多是学生自主学习的过程，数学实验给学生提供了更多动手动脑的机会，学生之间交流合作的机会，学生可以以一个研究者的身份独立进行学习研究，在“学”与“受”之间掌握了更多的主动权，这也正是教育主体地位的最好的诠释。在数学课堂实验中，学生可以自行设计问题，可以大胆提出设想，由被动的学习变为了主动的研究。
【实验3】均值定理的几何解释
实验工具：几何画板
实验过程：1、在实验平台中探讨均值不等式 及等号成立的条件
2、在实验平台中探讨均值不等式的拓展
（1）利用几何画板软件，探索线段AF、AG、AE、BH、CD、OE的大小关系
（2）试用 、 表示线段AF、AG、AE、BH、CD、OE
可以得到了哪些有关实数 、 或更多实数的不等式？
（3）若 ，试从均值不等式出发，排列并证明下列六个量的大小
教师可以提前设定问题情景，让学生查阅相关资料，选择实验平台，设计执行方案，充分做好演示实验准备，最后在课堂教学中交流展示。此案例中从数与形两方面验证了均值不等式，并进行了一定的拓展发现，体会了数学学习的完整性与延展性。可以想象传统课堂上这样一节课的情景，相比之下，数学实验让数学课堂散发着无限的活力，也从本质上掀起了一场教学方式的革新。
4、数学实验能够提高学生的数学学习信念。
教育公平性的体现之一是因材施教，而数学实验的过程就可以使不同层次的学生自行定位，达成实施因材施教的目标。数学实验是可以面向全体学生的教学形式，它可以满足不同学习能力、不同认知方向的学生的不同需求，使所有学生都能够在属于自己的研究中获取知识，得到思维的锻炼与发展。数学实验不仅可以帮助学生加强对数学知识的认知理解，更在这个过程中使学生自主的学习方式与成果得到了充分的肯定，验证的不仅是数学的结论也还有自己的能力，增强了学习数学的兴趣与信心，充分体验着思维体操的魅力与乐趣。
四、数学实验的反思
数学实验的开展本质上来说就是教学改革的一种全新形式，是素质数学教育引入课堂的直接体现。数学实验中，计算机软硬件为主要平台，数学建模思想为设计框架，代表了最新的教育教学技术理念，注定是未来数学学习的有效方式。但是数学实验在学校中的应用与推广依然存在着一些困难。
1、教师主观认识不足。相对于传统教学，数学实验耗时费力，高中数学课程内容繁多，不少教师在完成常规教学任务后，几乎没有多余的时间进行数学实验，面对高考的压力，更有教师认为数学实验根本没有任何意义，有实验的时间都不如做一份试卷。对于这种情况，首先要让教师充分认识数学实验对数学教学的意义，其次是提升对学生数学实验能力的认可与支持，诸如强调数学素质能力的数学建模大赛、数学能力测试等活动的积极开展。当然，重新制定新的高考模式与标准，真正体现对数学能力的考核，才能将素质教育落于实际。
2、教师对数学实验缺乏一定的设计能力与指导经验。课堂中开展数学实验是一项全新的尝试，对教师自身数学能力也提出了更高的要求。不仅需要教师具备一定的计算机应用知识，更需要教师坚实的专业知识与科研能力为支撑，才能对师生共同进行的实验提供保障。同时，学生自主设计实验的能力不足，也可能不能提出合理而有价值的问题，对于实验的结果不能做出准确全面的反馈与总结。所以要想开展数学实验首先需要对教师进行必要的培训，提高自身的科研能力，掌握相关实验操作技能，并能够对学生提供全面的策略规划和及时的指导，并充分相信学生的能力，给予最大的支持鼓励，协同合作完成实验任务。
3、硬件环境条件的制约。由于地域经济或教育发展的差异性，一些学校或家庭受经济条件限制，现代化教学设备未能配备齐全，数学实验的推广受到了一定的阻碍。
课堂教学中引入数学实验不仅改变了课堂教学的结构，更改变了教师与学生的教学与学习的关系。教师成为教学活动的设计者、组织者，学生成为学习的主体。教师不用再固守三尺讲台，精彩的数学世界才是教师带领学生遨游的舞台。课堂教学中开展数学实验需要教师的智慧，需要教师掌握相应的现代化教育技术，需要具备超前的教育理念，以及坚实的专业知识和对数学教育的执着探索。只有这样，数学实验才能真正发挥它的作用，体现它的价值，成为课堂教学中教师与学生学习的有效工具。
【参考书目】
《高中生数学创新素质培育的实践与思考》施洪亮，上海教育出版社
《高中数学新课程与学生学习》张思明，高等教育出版社
