基于初高中衔接的“二次函数”教学

王运思（江苏省徐州市第五中学 221000）  

内容摘要：函数是初等数学主要学习内容之一，它贯穿了整个中学阶段的数学学习．初中数学主要学习一次函数（正比例函数）、反比例函数和二次函数，其中二次函数是初、高中函数学习的一个重要衔接点，因此做好二次函数的初高中衔接教学至关重要。本文立足高中函数教学的角度，从数形结合，分类讨论两个方面阐述初中二次函数教学的落脚点及侧重点。

关键词：二次函数；初中；高中；数形结合；分类讨论

函数是初等数学主要学习内容之一，它贯穿了整个中学阶段的数学学习．初中数学主要学习一次函数（正比例函数）、反比例函数和二次函数，其中二次函数是初、高中函数学习的一个重要衔接点，因此做好二次函数的初高中衔接教学至关重要．初中阶段对二次函数的要求，还是立足于用代数方法来研究，比如配方、结合顶点式描述函数图象的某些特征，如开口方向、顶点坐标、对称轴、最值等；再比如待定系数法，通过解方程组的形式来求二次函数的解析式．少量涉及了数形结合内容，如通过画图象找增减性、开口方向、最大或最小值，以及通过图象了解二次函数与坐标轴交点及一元二次方程的根之间的关系等．可见初中对于二次函数的要求相对较低，而高中的函数立足于“集合说”，函数的概念更为抽象，对函数的研究更为深入和广泛．进入高中后，对二次函数的学习要求明显较高，对二次函数的研究更侧重于数形结合，通过图象来研究性质，要求“数化形”及“形化数”的能力较强．那么，究竟该如何衔接好初高中二次函数的教学，让学生进入高中以后，能够很快适应高中的大容量、快节奏教学方式？为此，笔者进行了一些思考与尝试，现举例说明如下：

一、函数图象的平移

例1、把二次函数y＝x²＋bx＋c的图象向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x²的图象，求b，c的值．

解法一：y＝x²＋bx＋c＝(x＋)²，把它的图象向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到的图象，也就是函数y＝x²的图象，所以，

     解得b＝－8，c＝14．

解法二：把二次函数y＝x²＋bx＋c的图象向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x²的图象，等价于把二次函数y＝x²的图象向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝x²＋bx＋c的图象．

由于把二次函数y＝x²的图象向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝(x－4)²＋2的图象，即为y＝x²－8x＋14的图象，∴函数y＝x²－8x＋14与函数y＝x²＋bx＋c表示同一个函数，∴b＝－8，c＝14．  

总结：这两种解法反映了两种不同的思维方式，解法一是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大，解法二则是利用逆向思维，将原来的问题进行等价转化，使计算量减小，难度大大降低．“正难则反”是高中数学解题的一种技巧．

二、分类讨论．

   例2、说说二次函数图象的相关性质．

（1）它有最值吗？求出它的最值；

（2）当时，求出函数的最值；

（3）当时，求出函数的最值；

（4）通过前面三问，你能得出什么结论？

分析：此处设计是先复习基本知识，既可以通过配方化为顶点式，说明图象的性质，也可以画出函数图象，通过图象来说性质．（1）、（2）、（3）三问分别是整个定义域、单调区间及不单调区间三种情况，让学生感受数形结合的思想，即讨论二次函数性质，常常要借助于图象来进行研究．而第（4）问，则是对上述结论作个总结．让学生再次感受分类讨论思想和数形结合思想，而这正是高中数学最常用的两种思想．

解：（1），

∵－2＜0，∴函数有最大值8．

（2）当时，此时函数的图象为对称轴左边的一段（如图），通过图象可以发现，函数值是随着自变量的增大而增大的（即是单调递增的）．

，有最小值，；，有最大值，．

（3）当时，此时函数的图象为包含顶点的一段（如图），观察图象可以发现，，有最大值，；，有最小值，．

延伸：已知,是函数图象上的六点，试比较，，，，，的大小．（用“＜”连接）

例3、已知函数y＝x²，－2≤x≤a，其中a＞－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．

分析：根据函数图象的最高点确定最大值，根据最低点确定最小值，根据最高点，最低点以及连续状况确定y的范围．本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，图象就是一个变化的曲线，我们需要对a的取值进行讨论，来确定函数图象的最高点与最低点．

解：（1）当－2＜a＜0时，由图3①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a²；

（2）当0≤a＜2时，由图3②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；

（3）当a≥2时，由图3③可知，

当x＝a时，函数取最大值y＝a²；当x＝0时，函数取最小值y＝0．

变式：已知函数y＝4x²－4ax＋a²－2a＋2，当0≤x≤2时，最小值为3，求a的值．

解：y＝4x²－4ax＋a²－2a＋2＝4(x－2(a))²－2a＋2，0≤x≤2．

（1）若2(a)＜0，即a＜0时，x＝0时，y取得最小值，y_min＝a²－2a＋2＝3，解得a＝1－或a＝1＋（舍）；

（2）若0≤2(a)≤2，即0≤a≤4时，x＝2(a)时，y取得最小值，y_min＝－2a＋2＝3，解得a＝－2(1)（舍）；

（3）若2(a)＞2，即a＞4时，x＝2时，y取得最小值，y_min＝a²－10a＋18＝3，解得a＝5＋或a＝5－（舍）．

综上，a＝1－或a＝5＋．

总结：高中阶段对于二次函数的研究，自变量的取值往往都不是取遍所有的实数，而是在部分实数范围内来研究.

在本例中，利用了分类讨论的思想，对a的所有可能情形进行讨论．在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．以开口向上的二次函数为例，根据对称轴与x范围之间的关系来划分，区间上的二次函数图象有四种情况，如图4．  

三、数形结合

例4、已知二次函数，图象经过点（0，）、（1，）和（-1，），且满足，求函数的解析式．

分析：此题表面上是待定系数法求二次函数解析式，但所给的三个点并不完全是已知的，需要进行判断，y₁、y₂、y₃取±1中的哪个值，这对学生分析能力提出了较高的要求．

解法一：待定系数法．

，即，通过组合，可得到八个方程组，即为：

；；；；

；；；；

通过解这八个方程组，再结合即可．

解法二：数形结合法．

由可知，抛物线开口向上，且对称轴位于轴的左侧（如图5），故对称轴右边函数图象是单调递增的，所以，又、只能取中的一个值，即＝，＝．由于也取中的某个值，，即点（－1，）在对称轴的左半支图象上，若＝1，而＝，根据对称性，则抛物线的对称轴为轴，这是不可能的，故＝．抛物线经过的三个点为，由待定系数法，即可求出解析式．

解法三：筛选法．

将、、取的几种情况分别罗列出来，组成六个点，即（，1），（，），（0，1），（0，），（1，1）和（1，），如图6．分成三组：与；与；与，每组取一个点，共八种可能，分别是：（），（），（），（），（），（），（），（）

很显然，（）和（）不符合条件，舍去．结合抛物线开口向上，故（），（），（）三种情况可以排除．再根据对称轴位于轴的左侧，故（）可以排除．现在只剩下（），（）两种情况．若是（），则此时抛物线的对称轴一定是轴，故舍去，所以满足条件的只有（），即抛物线经过点．

总结：通过本题，训练学生学会数形结合和分类讨论的思想方法，让学生真切的感受到——“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。 数形结合，主要是指数与形之间的一一对应关系，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合的思想方法，就是把数学问题中的数量关系与空间形式结合起来进行研究思维的思想方法。根据“数”的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决“数”的问题；或将图形信息部分或全部转换成代数信息，进而削弱或清除“形”的推理部分。使要解决的“形”的问题转换为数量关系的讨论。通过以上转换使问题得以解决或简单化。数形结合思想的本质是几何图形的性质反映了数量关系；数量关系决定了几何图形的性质。“数”不仅有精确性，它还具有联系性（即在某一特定范围内它是联系不间断的），唯一性，逻辑性等，他们之间可以经过多咱变换。数形结合思想的方法应用主要可以分为两种情况：（1）借助于“数”的精确性来阐明“形”的属性；（2）借助于“形”的直观性来阐明“数”的关系。华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”

总之，二次函数在初、高中的数学教学中，具有重要地位，只有做好衔接工作，才能使学生的函数学习顺畅，才能更好的进行后续的学习。