【摘 要】现如今中考题型越来越新颖，在应用问题、猜想问题和阅读理解题这几类试题中显得尤为明显。本文结合例题阐述如何提高学生的实践能力、增强学生的分析能力、加强学生的自学能力，强化学生的动手能力。
【关键词】应用 实践 猜想 分析 理解 自学
近几年随着初中数学课程标准的实施，各地中考试题中具有探索性、实践性、创新性的越来越多。它强调以学生发展为本，特别重视发挥学生主体性。面对新的教育理念，如何适应数学教学改革要求，重视学生个性和创新性思维能力的培养是一个重要的课题。下面我们就以中考试题为例，一起讨论几类问题，供师生在中考复习时参考。
一、探索应用问题，提高学生的实践能力
数学是改革客观世界的重要工具，我们应该用动态的观点去认识数学。应用数学是学数学的出发点和归宿，所以应用题也是中考命题的热点。据调查，初中学生中大多数不理解利润、看不懂股票的走势图，究其原因是在校内外学做家庭理财和参与社会服务的机会太少。新课程标准重视数学学习与实践的结合，重视考查学生在面对真实情境下解决问题的能力，从而提高学生对应用性问题的领悟能力和解决能力。
例1：某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元至70元之间，市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱，价格每升高1元，平均每天少销售3箱。（1）写出平均每天销售Y（箱）与每箱售价X（元）之间的函数关系式（注明范围）。（2）求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价X（元）之间的二次函数关系式。（每箱的利润=售价-进价）（3）求出问题2中二次函数图象的顶点坐标，并求当X=40，70时W的值。在给出的坐标系中画出函数图象的草图。（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？
这类题型旨在利用与生活实际有关的具体情境，关注学生的心理发展，搭起数学与实际问题的桥梁，协助学生体验由生活情境中抽象出的数学问题，这类问题最终归结为一个函数模型。新教材带给学生广阔的发展空间，要求我们在教学过程中有意识地教给学生实际生活和生产实践中有用的数学基础知识，让学生主动关注身边的实际问题，并学会运用数学建模思想方法，用数学的观点和方法来考察周围的事物，培养和提高学生的应用意识和应用能力。
二、探索猜想问题，增强学生的分析能力
猜想是一种高层次的思维活动，是数学发现过程中一种创造性思维。当代著名数学教育家波利亚也指出：“要成为一个好的数学家，你必须是一个好的猜想家。”近几年在各地中考试题中出现了各种类型的猜想型试题，并逐渐地由简单型向复杂型、单一型向多向型转化，低层次猜想向高层次、高质量型猜想问题转移。
例2：如图1，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，点O、E分别是AD、AB的中点，点F是以点O为圆心、OE的长为半径的圆弧与DC的交点，点P是弧EF上的动点，连接OP，并延长交直线BC于点K。
过点P作弧EF所在圆的切线，当该切线不与BC平行时，设它与射线AB、直线BC分别交于点M、G。
（1）当K与B重合时，BG∶BM的值是多少？
（2）在点P的运动过程中，是否存在BG∶BM=3的情况？你若认为存在，请求出BK的值；你若认为不存在，试说明其中的理由。一般地，是否存在BG∶BM=n（n为正整数）的情况？试提出你的猜想（不要求证明）。
分析：
（1）如图2，当K与B重合时，因为MG与弧EF所在的圆相切于点P，所以OB⊥MG，所以∠ABO+∠BMG=90°。因为∠BGM+∠BMG=90°，所以∠ABO=∠BGM。
所以Rt△BAO∽Rt△GBM。
（2）如图3，假定存在这样的点P，使得BG∶BM=3，过点K做KH⊥OA于H，那么，四边形ABKH为矩形，即有KH=AB=2。
因为MG与弧EF所在的圆相切于点P，所以OK⊥MG于P。所以∠HKO+∠KIG=90°，又因为∠G+∠KIG=90°，所以∠HKO=∠G。又因为∠OHK=∠GBM=90°，所以△OHK∽△MBG，所以存在这样的点K，使得BG∶BM=3。同理，可以证明：在线段BC、CD及CB的延长线上。由此可猜想：存在BG∶BM=n（n为正整数）的情况。
三、阅读性理解题，加强学生的自学能力
数学课程标准重视培养学生的自学能力，强调学习方法的指导，重视发现、形成知识的过程。这就要求在学生获取知识的过程中，教师不要灌输式地把知识教给学生，而是引导学生通过自己思考或自学来获取，将课本知识转化为个人能力。因此，在教学中要借助阅读理解题的训练，以考查学生基础概念、思维能力、运用数学语言能力等。
例3：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖。对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被多个圆所覆盖。如图4中的三角形被一个圆所覆盖，图中的四边形被两个圆所覆盖。
回答下列问题：（1）边长1�的正方形被一个半径为r的圆覆盖，r的最小值是 cm；
（2）边长1�的等边三角形被一个半径为r的圆覆盖，r的最小值是 cm；
（3）长2�，宽1�的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm，这两个圆心距是 cm。
这类题型主要通过分析、比较、抽象和概括等数学手段，运用已学过的数学知识和数学方法，对知识进行归纳总结、迁移应用，要善于联想猜想、借鉴创新，它能很好地培养学生的创新能力。
四、探索操作问题，强化学生的动手能力
数学课程标准指出：“动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。”学生的创新意识是在主动探索知识的过程中得到培养的，学生的实践能力是在运用知识解决问题的实践活动中得到发展的。近几年各地中考中这种动手型考题逐渐出现，所以有必要引起学生的重视。
例4： 如图5，已知，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=5�，CD=6�，∠DCB=60°，∠ABC=90°。等边三角形MPN（N为不动点）的边长为acm，MN和直角梯形ABCD的底边BC在一条直线上，NC=8cm。
（1）将直角梯形ABCD向左翻折180°，翻折一次得图形1，翻折二次得图形2，如此翻折下去，将直角梯形ABCD向左翻折两次，如果此时等边三角形的边长a≥2�，这时两图形重叠部分的面积是多少？
（2）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积，这时等边三角形的边长a至少应为多少？
（3）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积的一半，这时等边三角形的边长a至少应为多少？
这类题主要以学生熟悉的、感兴趣的图形为背景提供观察和操作的机会，让学生通过动手操作，亲自发现结果的准确性，在思想上和行为上逐步消除理论和实践之间的阻隔，所以，我们平时在教学中要向学生提供充分从事数学活动的机会，积极引导学生从事实验活动和实践活动，培养学生乐于动手的意识。
