十九世纪欧洲的社会环境也为数学发展提供了适宜的舞台，法国资产阶级大革命所造成的民主精神和重视数学教育的风尚，鼓励大批有才干的青年步入数学教育和研究领地。法国在十九世纪一直是最活跃的数学中心之一，涌现出一批优秀人才，如傅里叶、泊松、彭赛列、柯西、刘维尔、伽罗华、埃尔米特、若尔当、达布、庞加莱、阿达马。他们在几乎所有的数学分支中都作出了卓越贡献。法国革命的影响波及欧洲各国，使整个学术界思想十分活跃，突破了一切禁区。
复分析真正作为现代分析的一个研究领域，是在19世纪建立起来的，主要奠基人是柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯，三者的出发点和探索方法有所不同，但却可以说是殊途同归。
把分析建立在“纯粹算术”的基础之上，这方面的努力在19世纪后半叶酿成了数学史上著名的“分析算术化”运动，这场运动的主将是魏尔斯特拉斯．魏尔斯特拉斯认为实数赋予我们极限与连续等概念，从而成为全部分析的本源．要使分析严格化，首先就要使实数系本身严格化．为此最可靠的办法是按照严密的推理将实数归结为整数(有理数)．这样，分析的所有概念便可由整数导出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填补．这就是所谓“分析算术化”纲领，魏尔斯特拉斯本人和他的学生们为实现这一纲领作出了艰苦的努力并获得了很大成功．
魏尔斯特拉斯的工作一向以严格著称，他关于解析函数的工作也是以追求绝对的严格性为特征的．因此，魏尔斯特拉斯不仅拒绝使用柯西通过复积分所获得的结果(包括柯西积分定理和留数理论)，他也不能接受黎曼提出的那种几何“超验”方法．他相信函数论的原理必须建立在代数真理的基础上，所以他把目光投向了幂级数．用幂级数表示已用解析形式给出的复函数，对于魏尔斯特拉斯来说并不是一个新的创造．但是，从已知的一个在限定区域内定义某个函数的幂级数出发，根据幂级数的有关定理，推导出在其他区域中定义同一函数的另一些幂级数，这个问题是魏尔斯特拉斯解决的．上述过程也称为解析开拓，它在魏尔斯特拉斯的理论中起着基本的作用．使用这种方法，已知某个解析函数在一点处的幂级数，通过解析开拓，我们就可以完全得到这个解析函数．在19世纪末，魏尔斯特拉斯的方法占据了主导地位，正是这种影响，使得“函数论”成为复变函数论的同义词．但是后来柯西和黎曼的思想被融合在一起，其严密性也得到了改进，而魏尔斯特拉斯的思想还逐渐从柯西—黎曼观点推导出来．这样，上述三种传统便得到了统一．魏尔斯特拉斯在这一时期继续分析算术化的工作，提出了现代通用的极限定义，即用静态的方法(不等式)刻画变化过程。他构造出处处不可微的连续函数实例，告诫人们必须精细地处理分析学的对象，对实变函数论的兴起起了催化作用。在复变函数论方面，他提出了基于幂级数的解析开拓理论。魏尔斯特拉斯的众多成果出自他任中学教员的时期，到1859年出任柏林大学教师后才广为人知。由于他为分析奠基的出色成就，后被誉为“现代分析之父”
魏尔斯特拉斯出生于德国威斯特伐里亚地区一个海关官员家庭，中学毕业时成绩优秀，共获7项奖，其中包括数学，但他的父亲却把他送到波恩大学去学习法律和商业．魏尔斯特拉斯对商业和法律都毫无兴趣．在波恩大学他把相当一部分时间花在自学他所喜欢的数学上，攻读了包括拉普拉斯的《天体力学》在内的一些名著。他在波恩的另一部分时间则花在了击剑上．魏尔斯特拉斯体魄魁伟，击剑时出手准确，加上旋风般的速度，很快就成为波恩人心目中的击剑名星．这样在波恩大学度过四年之后，魏尔斯特拉斯回到家里，没有得到他父亲所希望的法律博士学位，连硕士学位也没有得到．这使他父亲勃然大怒，呵斥他是一个“从躯壳到灵魂都患病的人”．这时多亏他家的一位朋友建议，魏尔斯特拉斯被送到明斯特去准备教师资格考试1841年，他正式通过了教师资格考试．在这期间，他的数学老师居德曼认识到他的才能．居德曼是一位椭圆函数论专家，他的椭圆函数论给了魏尔斯特拉斯很大影响，魏尔斯特拉斯为通过教师资格考试而提交的一篇论文的主题就是求椭圆函数的幂级数展开．居德曼在这篇论文的评语中写道：“论文显示了一位难得的数学人才，只要不被埋没荒废，一定会对科学的进步作出贡献”．居德曼的评语并没有引起任何重视魏尔斯特拉斯在获得中学教师资格后开始了漫长的中学教师生活．他在两处偏僻的地方中学度过了包括30岁到40岁的这段数学家的黄金岁月。他在中学不光是教数学，还教物理、德文、地理甚至体育和书法课，而所得薪金连进行科学通信的邮资都付不起．但魏尔斯特拉斯以惊人的毅力，过着一种双重的生活．他白天教课，晚上攻读研究阿贝尔等人的数学著作，并写了许多论文．其中有少数发表在当时德国中学发行的一种不定期刊物“教学简介”上，但正如魏尔斯特拉斯后来的学生、瑞典数学家米塔·列夫勒所说的那样：“没有人会到中学的教学简介中去寻找有划时代意义的数学论文。”不过魏尔斯特拉斯这一段时间的业余研究，却奠定了他一生数学创造的基础．一直到1853年，魏尔斯特拉斯将一篇关于阿贝尔函数的论文寄给了德国数学家克雷尔主办的《纯粹与应用数学杂志》(常常简称《数学杂志》)，这才使他时来运转．克雷尔的杂志素以向有创造力的年青数学家开放而著称．他接受了魏尔斯特拉斯的论文并在第二年就发表出来，随即引起了轰动．哥尼斯堡大学一位数学教授亲自到魏尔斯特拉斯当时任教的布伦斯堡中学向他颁发了哥尼斯堡大学博士学位证书．普鲁士教育部宣布晋升魏尔斯特拉斯，并给了他一年假期带职从事研究．此后，他再也没有回到布伦斯堡．1856年，也就是他当了15年中学教师之后，魏尔斯特拉斯被任命为柏林工业大学数学教授，同年被选进柏林科学院．他后来又转到柏林大学任教授直到去世，晚年享有很高的声誉，几乎被看成是德意志的民族英雄．在数学史上，魏尔斯特拉斯关于分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号．这种严格化的突出表现是创造了一套
语言，用以重建分析体系．可以说，数学分析达到今天所具有的严密形式，本质上归功于魏尔斯特拉斯的工作 . 魏尔斯特拉斯很少正式发表自己的研究成果，他的许多思想和方法主要是通过他在柏林工业大学和柏林大学的课堂讲授而传播的，其中有一些后来由他的学生整理发表出来．在1857年开始的解析函数论课程中，魏尔斯特拉斯给出了第一个严格的实数定义，这个定义大意是先从自然数出发定义正有理数，然后通过无穷多个有理数的集合来定义实数．像大多数情况一样，魏尔斯特拉斯只是在课堂上作了讲授．1872年，有人曾建议他发表这一定义，但被魏尔斯特拉斯拒绝了。
不过，1872年，戴德金、康托尔、梅雷和海涅等人几乎同时发表了他们各自的实数理论，而其中戴德金和康托尔的实数构造方法正是我们现在通常所采用的．这表明，由实数构成的基本序列不会产生任何更新类型的数，或者说由实数构成的基本序列不需要任何更新类型的数来充当它的极限，因为已经存在的实数已足够提供其极限了．因此，从为基本序列提供极限的观点来说，实数系是一个完备系．这样，长期以来围绕着实数概念的逻辑循环得以彻底消除．实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。
