对一道压轴题的“轨迹”问题的解析

江苏省徐州市第五中学   王运思          

近年来，中考试题涌现了许多设计精妙的亮点题，这些试题从学生已有的知识层面出发，精心设计，凝聚着中考命题专家的集体智慧，试题尽显新课标教学理念和命题的导向。本文拟以2013年浙江省湖州市中考试题第16题（填空压轴题）为例进行解析和研究，供各位同仁指正。

题目   如图1，已知点A是第一象限内横坐标为 的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N。若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，点A不变，点B随之运动。则当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是       。

一、试题分析

试题以平面直角坐标系中的一点一线为基础，用线上的动点和定点构造特殊的直角三角形，用过定点作x轴的垂线交已知线，确定已知动点的运动范围后，配以点的平移变换，让问题从静态走向动态。

本题需要学生通过寻找特殊位置进行画图、度量、猜想，对所求动点的运动路线作出判断，然后提出解决的方法。但在具体求解的过程中，学生会感觉“条件不足”，即题中未给出定点的纵坐标，这是本题的关键也是难点。

二、试题解析

解析：本题是一道填空题，只需学生求出结果即可。因此，我们可以通过画图，画出动点P在点O、点N处时对应点B的位置，再加上原图中点B的位置，我们就可以判断点B所在图象的大致形状。

如图2，当点P在点O处时，点B运动到点B₁；当点P在点N处时，点B运动到点B₂。

⑴ 特殊法。若取点A的纵坐标为2，则AM=2.  

当点P运动到点O时，在Rt△AOM中，AM=2，OM= ,∴AO=4，

∴∠AOM=30°,又∵∠AOB₁=30°，∴点B₁在x轴上

此时△OMA∽△OAB₁    

∴OA²=OM·OB₁    

∴OB= , ∴ B₁( ,0)  

当点P运动到点N时，AB₂∥x轴。

在Rt△NAB₂中，∠ANB₂=30°，AN=AM+MN=2+ ,  

∴AB=AN·tan∠ANB₂=2+

∴x_B=2+ + = +2  

∴B₂( +2,2)  

∴B₁B₂=2

⑵设而不求法。设A( ,n)，则AM=n。

当点P运动到点O时，过点B₁坐B₁E⊥AD于点E，则△ODA∽△AEB₁

∴

∴ AE= ，EB₁=2，

∴ ED= + ，

∴ B₁（ + ， ）

当点P运动到点N时，AB₂∥x轴。

在Rt△NAB₂中，∠ANB₂=30°，AN=AM+MN=n+ ,  

∴AB₂ =AN·tan∠ANB₂=2+

∴ B₂( ,n)  

∴ B₁B₂=2

通过以上两种方法的求解，我们可以得到点B运动的路径长，但是都不严密，即没有说明点P运动时，点B的运动路线是线段。下面来介绍第三种方法。

⑶ 常规法。

解：由题意可知，OM= ，点N在直线y=-x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ON= OM= × = ．
  如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的

位置为B₀，动点P在N点（起点）时，点B的位置为B_n，连接B₀B_n．
∵AO⊥AB₀，AN⊥AB_n，∴∠OAC=∠B₀AB_n，
又∵AB₀=AO•tan30°，AB_n=AN•tan30°，∴AB₀：AO=AB_n：AN=tan30°，
∴△AB₀B_n∽△AON，且相似比为tan30°，
∴B₀B_n=ON•tan30°= × = ．
  现在来证明线段B₀B_n就是点B运动的路径（或轨迹）．
  如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为B_i，连接AP，AB_i，B₀B_i．
∵AO⊥AB₀，AP⊥AB_i，∴∠OAP=∠B₀AB_i，
又∵AB₀=AO•tan30°，AB_i=AP•tan30°，∴AB₀：AO=AB_i：AP，
∴△AB₀B_i∽△AOP，∴∠AB₀B_i=∠AOP．
又∵△AB₀B_n∽△AON，∴∠AB₀B_n=∠AOP，
∴∠AB₀B_i=∠AB₀B_n，
∴点B_i在线段B₀B_n上，即线段B₀B_n就是点B运动的路径（或轨迹）．
综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B₀B_n，其长度为 .  

故答案为： ．

以上是本人对这道轨迹问题的几种解法，供各位同仁参考。